斯坦福编程范式第二课笔记（数据类型在内存中的表示）

内存的最小单位是字节，一个字节等于8位（bit），每一位要么是0要么是1，也就是用二进制来表示。

一个字节在内存中的表示为：

无符号整数的表示

无符号二进制转成十进制公式：

w：二进制位的长度。
i：二进制位从右往左开始的下标，从0开始计数。
w-1：由于i是从0开始计数，所以最后一个下标就是w-1。
x(i)：第i位的值，要么是0要么是1。
2^i：2的第i次幂。

例如：无符号二进制数10010 按照公式展开就是：

如果把这个数用1个字节在计算机中存储，内存中就表示为：

不足8位，左边补0。

1个字节的无符号正式能表示2^8 = 256个不同的数。能表示最大的数是8个二进位全是1的数等于255，也就是求一个公比为2，首项是1的等比数列前8项和。二进制位求和公式为(2^n) - 1。总结下来一个n位的二进制数能表示最大的数是(2^n) - 1，能够表示2^n个不同的数，之所以是2^n个不同的数，是因为可以表示0~(2^n) - 1，从0开始的所以还需要+1个长度。

Char在内存中的表示

Char类型是用来存储单个字符，在内存中占用1个字节的大小，它使用8个bit来表示256个字符。 Char类型实际存储的是字符的ASCII码，由于ASCII码是整数。所以Char最终在内存中是一个8bit的整型。

比如字符A的ASCII码是65，65 = 2^0 + 2^6，所以在内存中的表示为：

char ch = 'A';
printf("%d", ch); // output is 65

Short在内存中的表示

Short 表示的是短整型，一般占用2个字节的内存大小。

它的取值范围是(-2)^15~(2^15)-1包含0。最大值这里是(2^15)-1，是因为short有符号位，需要用最高位（用从左到右第一位）来表示符号，0表示正数，1表示负数。最大值的二进制表示为0111111111111111(16个二进制位)，十进制就是(2^15)-1。之所以是(2^15)-1，也是之前说的求和公式((2^n)-1。

实现加减法

二进制加减法和十进制一样，把对应位相加，大于1就向前进位。例如0111 + 1 = 1000

如果想要把7和-7相加使结果等于0。按照在计算机中使用二进制的最高位来当做符号位的，0表示正数，1表示负数。那么7表示为0000111，-7就表示为1000111 。0000111 + 1000111 按照二进制先前的加法法则得出来是1001110，结果不是我们想要的0。

怎么才能让2个二进制数相加得到0呢？

想要得到0，就需要利用进位，比如在11111111（8个1）的基础上加1就可以得到100000000(一共9位，左边第一位是1，后面8个0) ，舍掉最左边的那个1就得到了8个0最终结果就等于0。把原码按位取反然后与原码相加就可以得到全1的二进制数。比如0000111按位取反就是1111000，他们俩相加得到11111111。再把它加1就得到最后的结果0。整个过程需要3步，我们把最后两步合并成一个步骤，也就是把按位取反和加1合并到一起，其实就是把原码的反码加1。如1111000加1得到1111001。最后这两步合在一起叫做取原码的补码。最后得到的1111001就叫做0000111的补码。

正整数的补码是其本身。
负整数的补码是把它对应的正整数二进制码按位取反，也就做原码的反码然后再加1。

比如正整数7的二进制码是0000111，它的补码还是它本身。再比如-7对应的正整数二进制码是0000111，它的反码就是1111000（把原码按位取反）。然后再加1就得到1111001。1111001就是-7的补码。我们再次把1111001和0000111按照二进制加法法则相加刚好得到0。这里需要注意的是，这里左边会产生一个溢出位，这个溢出位是去掉不要的，得到结果就是0。

-1的补码全是1，因为它加上1之后就变成了0。

计算机系统都是用补码来表示二进制码，这样的好处之一就是可以让加减法运算统一处理。

位模式拷贝

当把char类型的变量赋值给short类型的变量时，会把char的8个bit放在short的低八位（从右往左第一个字节）上。

例如：

char ch = 'A'; // 'A' ASCII：65 内存表示为 01000001
short s = ch; // 内存表示为 00000000 | 01000001

一个特殊的情况就是当把一个short的-1赋值给一个int变量的时候，并不会得到00000000 | 00000000 | 11111111 | 11111111，因为如果这样的话表示的值就不是-1了。所以正确的做法就是把所有的1全部拷贝给int。例如：

short s = -1; // 内存表示为 11111111 | 11111111
int i = s; // 内存表示为 11111111 | 11111111 | 11111111 | 11111111

相反如果把short类型的变量赋值给char类型的变量时，会把short的低八位（从右往左第一个字节）放在char仅有的一个字节上。会把多的字节自动剔除。例如：

short s = 65; // 内存表示为 00000001 | 01000001
char ch = s; // 内存表示为 01000001

浮点数的表示

我们已经知道无符号二进制转成十进制公式为：

这里的i是从0开始的也就是从右边的第一位是2^0，如果我们从一个负整数开始的话，就会存在负整数次幂，那么也就会出现小数部分了。例如有一个16位的二进制数000000011 | 11000000 用它的前八位来表示整数部分，后八位来表示小数部分，就也可以这样表示000000011.11000000。这样后八位也就不再是整数次幂了，而是从左到右每一位分别是2^(-1)~2^(-8)。这个数就可以表示成：

这是其中一种浮点数表示方法，这种方法表示的浮点数会出现精度不够，表示的数值区间比较小，所以计算机实际并没有用该方法来表示浮点数。

下面这种方法就是计算机内部真实表示浮点数的方法。

我们先来看下十进制的科学计数法，用科学计数法表示123.45的话就是1.2345 * 10^2。其中1.2345 为尾数，10为基数，2为指数。计算机在表示浮点数的时候，也借用了十进制的科学计数法的思想，只不过基数为2了。

例如1000.01 可以表示成1.00001 * 2^3，几次幂，小数点就向右移动几位。

用32位的float来举例，首位是符号位S，紧跟后面8位是指数位E，最后23位称为尾数位M。

计算公式：

S：符号位

S为0时刚好是正数，为1时是负数。

M：尾数部分

它的取值范围是1≤M＜2，取值方式是从左到右每一位分别表示的是2^-1~2^-23，值就是然后对各个位的表示值求和，这里跟先前浮点数表示的办法一致，都是从负整数次幂开始。由于尾数的整数部分始终都是1，所以这个1可以被省略，这样就可以多出一位来提升精度。

E：指数部分

减去127是因为偏移量是127。

例如0 | 10000010 | 11110000000000000000000的每一部分别是：

S：0

表示整数。

M：11110000000000000000000

这里需要再加1，因为为了提升小数精度省略了1，所以要加回来。所以完整的尾数部分应该是1.1111（省略了后面的0）。 2^0 + 2^-1 + 2^-2 + 2^-3 + 2^-4 = 1.9375

E：10000010

2^7 + 2^1 = 130

分别带入公式得：

二进制形式：

十进制形式：

详细过程： 1 * 1.1111 * 2^(130-127) => 1 * 1.1111 * 2^3 => 1 * 1111.1（几次幂，小数点就向右移动几位） => 1 * (2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 + 2^-1) => 1 * (8 + 4 + 2 + 1 + 0.5) => 15.5

浮点数与整数相互赋值

当我们在把浮点数与整数相互赋值的时候，并不会直接拷贝bit位，而是重新计算出在新的类型中的位模式。例如：

int i = 5; // 内存表示 00000000 | 00000000 | 00000000 | 00000101
// 重新计算5在float中的表示方式
float f = i; // 内存表示 0 | 00000000 | 00000000000000000000101
printf("%f", f) // output is 5.0

来一点更刺激的！！！

// 2^30
int i = 1073741824; // 内存表示 01000000 | 00000000 | 00000000 | 00000000
// 这里就不会重新计算在float中的表示方式了，而是直接把bit位拷贝过去。用float的解析方式去解析int的那块内存。
float f = *(float *)&i; // 内存表示 0 | 10000000 |00000000000000000000000

// 1 * 2^(128-127) * 1 = 2
printf("%f", f) // output is 2.0

这里就不会重新计算1073741824在float中的表示方式了，而是直接把int的bit位拷贝过去。用float的解析方式去解析int的那块内存。